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Nous savons tous que nous vivons dans un espace tridimensionnel. Mais qu’est-ce que ça veut dire quand les gens parlent de quatre dimensions?
Est-ce simplement un espace plus grand ? Est-ce « espace-temps« , l’idée populaire issue du livre d’Einstein théorie de la relativité?
La difficulté presque insurmontable de visualiser la quatrième dimension a inspiré mathématiciens, physiciens, écrivains et même certains artistes depuis des siècles. Mais même si nous ne pouvons pas vraiment l’imaginer, nous peut comprends-le.
Qu’est-ce que la dimension ?
La dimension d’un espace capture le nombre de directions indépendantes qu’il contient.
Une ligne est unidimensionnelle. Nous pouvons nous y déplacer en avant et en arrière, mais ce sont des directions opposées et non indépendantes. Vous pouvez également considérer une corde ou un morceau de corde comme étant pratiquement unidimensionnel, car son épaisseur est négligeable par rapport à sa longueur.
Une surface, comme un terrain de football ou la peau d’un ballon, est bidimensionnelle. Il existe des directions indépendantes vers l’avant et sur le côté.
On peut se déplacer en diagonale sur une surface, mais ce n’est pas une direction indépendante car on peut arriver au même endroit en avançant, puis de côté. L’espace dans lequel nous vivons est tridimensionnel : en plus de nous déplacer vers l’avant et sur les côtés, nous pouvons aussi sauter de haut en bas.
L’espace à quatre dimensions a encore une autre direction indépendante. C’est pourquoi l’espace-temps est considéré comme quadridimensionnel : vous avez les trois dimensions de l’espace, mais en avançant ou en reculant dans temps compte comme une nouvelle direction.
Une façon d’imaginer un espace en quatre dimensions consiste à créer un film immersif en trois dimensions, dans lequel chaque « image » est en trois dimensions et où vous pouvez également avancer et reculer rapidement dans le temps.
Considérez le cube
Les analogies dans les dimensions inférieures constituent un outil puissant pour comprendre les dimensions supérieures. Un exemple de cette technique consiste à dessiner des cubes dans plus de dimensions.
Un « cube bidimensionnel » n’est qu’un carré. Pour dessiner un cube tridimensionnel, nous dessinons deux carrés, puis les connectons coin à coin pour former un cube.
Ainsi, pour dessiner un cube à quatre dimensions, commencez par dessiner deux cubes en trois dimensions, puis reliez-les coin à coin. Vous pouvez même continuer ainsi pour dessiner des cubes en cinq dimensions ou plus. (Vous aurez besoin d’une grande feuille de papier et devrez garder vos lignes nettes !)
Cette expérience peut aider à déterminer avec précision le nombre de coins et d’arêtes d’un cube de dimension supérieure. Mais pour la plupart d’entre nous, cela ne nous aidera pas à en « voir ». Notre cerveau n’interprétera les images que comme des réseaux complexes de lignes en deux ou au plus trois dimensions.
Noeuds
Nous pouvons faire des nœuds en trois dimensions car les cordes unidimensionnelles « s’accrochent les unes aux autres ». C’est pourquoi une longue corde enroulée sur elle-même, si elle est bien faite, ne se détachera pas. Nous confions notre vie aux nœuds lorsque nous naviguons ou grimpons.
Mais en quatre dimensions, les nœuds se défont instantanément. Nous pouvons comprendre pourquoi en utilisant un exemple avec moins de dimensions, comme nous l’avons fait avec des cubes.
Imaginez une colonie de fourmis bidimensionnelles vivant sur une surface plane divisée par une ligne. Les fourmis ne peuvent pas franchir la ligne : c’est une barrière infranchissable pour elles, et elles ne savent même pas que l’autre côté de la ligne existe.
Mais si un jour une fourmi et son monde deviennent trois-dimensionnelle, cette fourmi franchira facilement la ligne. Pour enjamber, il doit se déplacer légèrement dans la nouvelle direction verticale.
Maintenant, au lieu d’une fourmi et d’une ligne sur une surface plane, imaginez un morceau de corde horizontal et vertical en trois dimensions. Ceux-ci s’accrocheront s’ils sont tirés dans des directions opposées.
Mais si l’espace devenait quadridimensionnel, il suffirait que le morceau de corde horizontal se déplace un peu dans la nouvelle quatrième direction pour éviter complètement l’autre.
En pensant aux quatre dimensions comme à un film, les morceaux de corde vivent dans un cadre unique en trois dimensions. Si le morceau de corde horizontal se déplace légèrement dans un futur cadre, dans ce cadre il n’y a pas de pièce verticale, il peut donc facilement se déplacer de l’autre côté de la pièce verticale avant de reculer.
De notre perspective tridimensionnelle, les cordes semblent glisser les unes sur les autres comme des fantômes.
Des nœuds en plus de dimensions
Est-il alors impossible de nouer une corde dans des dimensions supérieures ? Oui : tout nœud noué sur une corde se défait.
Mais tout n’est pas perdu : dans l’espace à quatre dimensions, on peut nouer surfaces bidimensionnellescomme des ballons, de grandes couvertures de pique-nique ou de longs tubes.
Il existe une formule mathématique qui détermine quand les nœuds peuvent rester noués : prenez la dimension de l’objet que vous souhaitez nouer, doublez-la et ajoutez-en une. Selon la formule, il s’agit de la dimension maximale d’un espace où le nouage est possible.
La formule implique, par exemple, qu’une corde (unidimensionnelle) peut être nouée dans au plus trois dimensions. Une surface de ballon (bidimensionnelle) peut être nouée dans cinq dimensions au maximum.
L’étude des surfaces nouées dans un espace à quatre dimensions est un sujet de recherche dynamique, qui fournit aperçu mathématique dans le des mystères encore mal compris dans les subtilités de l’espace à quatre dimensions.
Cet article édité est republié à partir de La conversation sous licence Creative Commons. Lire le article original.
