Pendant des siècles, les nombres premiers ont capturé l’imagination des mathématiciens, qui continuent de rechercher de nouveaux modèles qui aident à les identifier et la façon dont ils sont distribués entre d’autres chiffres. Les nombres premiers sont des nombres entiers supérieurs à 1 et ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Les trois plus petits nombres premiers sont 2, 3 et 5. Il est facile de savoir si les petits nombres sont privilégiés – il faut simplement vérifier quels chiffres peuvent les prendre en compte. Lorsque les mathématiciens considèrent cependant un grand nombre, la tâche de discernement lesquels sont privilégiés Champignons rapidement en difficulté. Bien qu’il puisse être pratique de vérifier si, par exemple, les chiffres 10 ou 1 000 ont plus de deux facteurs, cette stratégie est défavorable ou même intenable pour vérifier si les nombres gigantesques sont premier ou composites. Par exemple, le le plus grand numéro de premier ordre connuqui est 2136279841 – 1, mesure 41 024 320 chiffres de long. Au début, ce nombre peut sembler plus grand dans l’esprit. Étant donné qu’il existe une infinité d’entiers positifs de toutes tailles différentes, ce nombre est minuscule par rapport aux nombres premiers encore plus importants.
De plus, les mathématiciens veulent faire plus que simplement tenter de tel Numéros de facteur un par un Pour déterminer si un entier donné est primordial. « Nous sommes intéressés par les nombres premiers car il y en a infiniment beaucoup, mais il est très difficile d’identifier tous les modèles », explique Ken Ono, mathématicien à l’Université de Virginie. Pourtant, un objectif principal est de déterminer comment les nombres premiers sont distribués dans des ensembles de nombres plus importants.
Récemment, Ono et deux de ses collègues – William Craig, mathématicien à l’US Naval Academy, et Jan-Willem Van Ittersum, mathématicien à l’Université de Cologne en Allemagne – ont identifié une toute nouvelle approche pour trouver des nombres premiers. « Nous avons décrit infiniment de nouveaux types de critères pour déterminer exactement l’ensemble des nombres premiers, qui sont tous très différents de ‘si vous ne pouvez pas le prendre en compte, cela doit être premier’ ‘, dit Ono. Lui et le papier de ses collègues, publié dans le Actes de la National Academy of Sciences USA, a été finaliste pour un prix en sciences physiques qui reconnaît l’excellence scientifique et l’originalité. Dans un certain sens, la découverte offre un nombre infini de nouvelles définitions pour que les nombres soient privilégiés, note Ono.
Au cœur de la stratégie de l’équipe se trouve une notion appelée Integer Partitions. « La théorie des partitions est très ancienne », explique Ono. Il remonte au mathématicien suisse du XVIIIe siècle Leonhard Euler, et il a continué à être élargi et raffiné par des mathématiciens au fil du temps. « Les partitions, à première vue, semblent être l’étoffe du jeu de l’enfant », explique Ono. « Combien de façons pouvez-vous additionner des nombres pour obtenir d’autres numéros? » Par exemple, le nombre 5 a sept partitions: 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 et 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Pourtant, le concept s’avère puissant en tant que clé cachée qui débloque de nouvelles façons de détecter les nombres premiers. « Il est remarquable qu’un tel objet combinatoire classique – la fonction de partition – puisse être utilisé pour détecter les nombres premiers de cette manière nouvelle », explique Kathrin Bringmann, mathématicien à l’Université de Cologne. (Bringmann a déjà travaillé avec Ono et Craig, et elle est actuellement la conseillère postdoctorale de Van Ittersum, mais elle n’a pas été impliquée dans cette recherche.) ONO note que l’idée de cette approche est originaire d’une question posée par l’un de ses anciens étudiants, Robert Schneider, qui est maintenant mathématicien à la Michigan Technological University.
Ono, Craig et Van ittersum ont prouvé que les nombres premiers sont les solutions d’un nombre infini d’un type particulier d’équation polynomiale dans les fonctions de partition. Nommé Équations de diophantine Après le mathématicien du troisième siècle Diophantus d’Alexandrie (et étudié bien avant lui), ces expressions peuvent avoir des solutions entières ou rationnelles (ce qui signifie qu’elles peuvent être écrites comme une fraction). En d’autres termes, la découverte montre que « les partitions entières détectent les nombres premiers de manière naturelle infiniment », ont écrit les chercheurs dans leur PNA papier.
George Andrews, mathématicien à la Pennsylvania State University, qui a édité le PNA Document mais n’a pas été impliqué dans la recherche, décrit la constatation comme « quelque chose de tout nouveau » et « pas quelque chose qui était attendu », ce qui rend difficile de prédire « où il mènera ».
La découverte va au-delà de sonder la distribution des nombres premiers. « Nous clouons en fait tous les nombres premiers au nez », explique Ono. Dans cette méthode, vous pouvez brancher un entier qui est 2 ou plus dans des équations particulières, et si elles sont vraies, alors l’entier est premier. Une de ces équations est (3n3 – 13n2 + 18n – 8)M1(n) + (12n2 – 120n + 212)M2(n) – 960M3(n) = 0, où M1(n), M2(n) et M3(n) sont des fonctions de partition bien étudiées. « Plus généralement », pour un type particulier de fonction de partition « , nous prouvons qu’il existe de nombreuses équations de détection de celles de ce type avec des coefficients constants », ont écrit les chercheurs dans leur PNA papier. En termes plus simplement, « c’est presque comme si notre travail vous donne infiniment de nouvelles définitions pour Prime », dit Ono. « C’est un peu époustouflant. »
Les conclusions de l’équipe pourraient conduire à de nombreuses nouvelles découvertes, note Bringmann. « Au-delà de son intérêt mathématique intrinsèque, ce travail peut inspirer des investigations supplémentaires sur les propriétés algébriques ou analytiques surprenantes cachées dans les fonctions combinatoires », dit-elle. En combinatoire – les mathématiques du comptage – les fonctions combinatoires sont utilisées pour décrire le nombre de façons dont les éléments dans les ensembles peuvent être choisis ou disposés. « Plus largement, cela montre la richesse des connexions en mathématiques », ajoute-t-elle. « Ces types de résultats stimulent souvent une nouvelle réflexion sur les sous-champs. »
Bringmann suggère des moyens potentiels que les mathématiciens pourraient s’appuyer sur la recherche. Par exemple, ils pourraient explorer quels autres types de structures mathématiques pourraient être trouvés en utilisant des fonctions de partition ou rechercher des moyens pour les principaux résultats pour étudier différents types de nombres. « Y a-t-il des généralisations du résultat principal à d’autres séquences, telles que les nombres composites ou les valeurs des fonctions arithmétiques? » demande-t-elle.
« Ken Ono est, à mon avis, l’un des mathématiciens les plus excitants aujourd’hui », explique Andrews. « Ce n’est pas la première fois qu’il voit un problème classique et a mis des choses vraiment nouvelles. »
Il reste une surabondance de Des questions ouvertes sur les nombres premiersdont beaucoup sont de longue date. Deux exemples sont le conjecture jumelle et Conjecture de Goldbach. La conjecture Twin Prime indique qu’il y a une infinité de nombres à deux nombres qui sont séparés par une valeur de deux. Les nombres 5 et 7 sont des nombres premiers, tout comme 11 et 13. La conjecture de Goldbach indique que « chaque nombre uniforme de plus de 2 est une somme de deux nombres premiers de manière au moins d’une manière », dit Ono. Mais personne n’a prouvé que cette conjecture était vraie.
« Des problèmes comme celui-ci ont confondue les mathématiciens et les théoriciens des nombres depuis des générations, presque tout au long de l’histoire de la théorie des nombres », explique Ono. Bien que la découverte récente de son équipe ne résout pas ces problèmes, dit-il, c’est un exemple profond de la façon dont les mathématiciens repoussent les limites pour mieux comprendre la nature mystérieuse des nombres premiers.
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