« C’est ce qui s’est passé entre Claude et moi » : la tentative ratée de l’IA pour déchiffrer l’hypothèse de Riemann a conduit un mathématicien à une percée

Un intelligence artificielle (IA) a échoué à résoudre l’un des problèmes mathématiques non résolus les plus notoires et a aidé un mathématicien humain à progresser sur un casse-tête connexe.

Plus tôt cet été, Claude – le modèle d’IA d’Anthropic – a tenté de trouver une solution à ce qui est largement considéré comme l’un des problèmes mathématiques non résolus les plus importants. Connu sous le nom l’hypothèse de Riemannil propose un ordre caché derrière la distribution apparemment aléatoire des nombres premiers.

Et même si la tentative du robot a échoué, il a néanmoins fait un énorme pas en avant sur un problème connexe. Maintenant, Youness Lamzouriexpert en la matière à l’Université de Lorraine en France, a non seulement confirmé les progrès de Claude en utilisant une approche différente et plus intuitive, mais est également allé plus loin en acquérant de nouvelles connaissances liées à la distribution des nombres premiers.

« C’est comme si vous aviez un site archéologique et que vous ameniez de grosses machines et qu’elles extrayaient un trésor parce que c’est ce que nous voulons : l’artefact », a déclaré Lamzouri à Live Science. « Mais les humains le font généralement avec beaucoup de précautions parce qu’ils veulent comprendre comment il se fait que cet artefact soit enterré là – c’est ce qui s’est passé avec Claude et moi. »

Une cible privilégiée

Comprendre l’importance de la découverte de Lamzouri nécessite un certain contexte. Presque un mois après OpenAI a publié bruyamment (et de manière controversée) une preuve du problème d’existence et d’exhaustivité de Navier-Stokes créé par environ 10 000 de ses agents d’IA, les mathématiciens humains tentent toujours de déterminer s’il est correct et s’il ajoute quelque chose à la compréhension humaine.

Et c’est une grande préoccupation. Le Problème Navier-Stokes est l’un des sept diaboliquement difficiles Problèmes liés au prix du millénaire posé par le Clay Mathematics Institute en 2000. Le but de la définition de ces problèmes n’était pas seulement pour les mathématiciens de les résoudre par calcul par force brute, mais aussi d’inventer de nouvelles techniques et de promouvoir une compréhension qui stimulerait un large éventail de domaines connexes.

Si les humains ne comprennent pas la preuve et n’y trouvent rien d’utile – comme semble être le cas pour la preuve Navier-Stokes d’OpenAI – cela a peu de valeur pour les mathématiciens. C’est pourquoi la tentative ratée d’Anthropic de résoudre l’hypothèse de Riemann – un autre problème du Prix du Millénaire – pourrait être une histoire bien plus intéressante.

Le 10 août, Anthropic a publié un article préimprimé et l’accompagnant article de blog décrivant comment une version inédite du modèle d’IA de l’entreprise, Claude a tenté de prouver (ou de réfuter) l’hypothèse de Riemann.

Proposée pour la première fois par le mathématicien allemand Bernhard Riemann en 1859, l’hypothèse de Riemann se concentre sur les nombres premiers (nombres avec des facteurs de seulement 1 et eux-mêmes) dont l’espacement ne semble pas suivre un modèle régulier sur une droite numérique. Riemann a découvert que le secret de cet espacement est enfermé dans la fonction zêta de Riemann.

L’hypothèse de Riemann suggère que tous les zéros (non triviaux) de la fonction zêta de Riemann se trouvent sur une seule ligne verticale lorsqu’ils sont tracés. Si cela est vrai, cela confirmerait les règles et limiterait le caractère apparemment aléatoire de l’espacement des nombres premiers – une découverte qui aurait de profondes implications dans les mathématiques et la cryptographie.

Lorsque l’opérateur humain anthropique Jarred Sumner a incité Claude pour la première fois à résoudre l’hypothèse de Riemann fin juillet, Claude a tenté plus de 600 lignes d’attaque. Au début de la session suivante, en août, Sumner a offert à l’IA quelques mots d’encouragement : « Faites un grand acte de foi en vos capacités ». La réponse de Claude a été brève : « Ce n’est pas un problème de confiance que je peux résoudre en y croyant plus fort. »

Ayant l’impression de se heurter à un mur de briques, l’équipe humain-IA s’est fixé un objectif plus réaliste. « Lorsque vous trouvez une énorme montagne, comme dans l’hypothèse de Riemann, et que vous ne pouvez pas le prouver, vous vous fixez alors des objectifs inférieurs », a déclaré Lamzouri. Dans ce cas, le sommet le plus réalisable consistait à déterminer la proportion minimale de zéros situés sur la ligne verticale. Depuis 1989, les mathématiciens savent qu’au moins 40 % des zéros sont en jeu. Claude a obtenu 67,25%.

Bien qu’il s’agisse d’un grand pas en avant et d’une réalisation impressionnante, ce résultat ne constitue pas un progrès vers la résolution de l’hypothèse de Riemann. Cela est dû à une subtilité mathématique qui signifie que même si presque tous les zéros se situent sur la ligne critique, il peut toujours y avoir des exceptions. Et l’hypothèse de Riemann exige une certitude absolue, sans exception.

C’est pourquoi pour James Maynardprofesseur de mathématiques à l’Université d’Oxford et co-lauréat de la médaille Fields 2022 (l’équivalent mathématique d’un prix Nobel) pour des avancées critiques dans des domaines liés à l’hypothèse de Riemann, ce n’est pas le « pourcentage global » qui l’enthousiasme. « Ce dont je suis très positif, c’est qu’il y a de nouvelles idées dans la preuve de Claude qui interagissent plus directement avec le problème », a-t-il déclaré à Live Science.

En revanche, lorsque Lamzouri a lu le journal, il a été déçu. « Après quelques heures, j’ai abandonné », a-t-il déclaré. « Il y avait quelque chose là-dedans, mais c’était trop compliqué : ce n’était pas humain. » Ainsi, au lieu de continuer à se débattre avec le journal, Lamzouri a décidé de lire tous les articles publiés dont l’équipe d’Anthropic a déclaré que Claude s’était largement inspiré dans sa preuve. Il a alors repéré quelque chose que Claude n’avait pas vu.

Lamzouri s’est rendu compte qu’une grande partie des mathématiques complexes de la preuve pouvaient être contournées en ajoutant une certaine contrainte sur les équations. À partir de là, il a produit une preuve différente qui donnait la même proportion de zéros sur la ligne, 67,25 %, mais d’une manière beaucoup plus directe. De plus, son approche lui a permis de prouver des faits supplémentaires, comme par exemple que le pourcentage de zéros qui ne valent rien (pas simples et pas en jeu) est au maximum de 11 %.

« L’argument de Youness recadre tout d’une manière conceptuellement plus claire pour les personnes qui travaillent dans le domaine », a déclaré Maynard, qui n’a participé à aucune des deux études. « Je considère cela comme un exemple positif d’une manière dont les choses peuvent progresser à la lumière de l’IA. »

Sur ce point, Lamzouri rejoint Maynard. « Ce qui est bien, c’est qu’une fois que j’ai découvert cette nouvelle façon de voir les choses, inspirée bien sûr par Claude, cela m’a donné des idées que j’espère développer dans des domaines connexes », a-t-il déclaré. « Je pense que ce sera la même chose dans d’autres domaines des mathématiques : l’IA découvre des choses, amène les gens sur la voie d’un examen des concepts sous un angle différent et, espérons-le, les humains continueront à faire pression pour comprendre. »