Le 16 octobre 1843, le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton a eu une révélation lors d’une promenade le long du canal royal de Dublin. Il était tellement excité qu’il a sorti son canif et a gravé sa découverte sur-le-champ sur le pont de Broome.
Il s’agit du graffiti le plus célèbre de l’histoire des mathématiques, mais il semble plutôt modeste :
je ² = j ² =k ² = jek = –1
Pourtant, la révélation de Hamilton a changé la façon dont les mathématiciens représentent l’information. Et cela, à son tour, a simplifié une myriade d’applications techniques – du calcul des forces lors de la conception d’un pont, d’un IRM machine ou une éolienne, à programmer des moteurs de recherche et à orienter un rover sur Mars. Alors, que signifie ce fameux graffiti ?
Rotation d’objets
Le problème mathématique que Hamilton essayait de résoudre était de savoir comment représenter la relation entre différentes directions dans un espace tridimensionnel. La direction est importante dans la description des forces et des vitesses, mais Hamilton s’intéressait également aux rotations 3D.
Les mathématiciens savaient déjà représenter la position d’un objet avec des coordonnées telles que x, oui et zmais comprendre ce qui est arrivé à ces coordonnées lorsque vous avez fait pivoter l’objet nécessitait une géométrie sphérique compliquée. Hamilton souhaitait une méthode plus simple.
Il s’est inspiré d’une manière remarquable de représenter les rotations bidimensionnelles. L’astuce consistait à utiliser ce qu’on appelle « nombres complexes« , qui ont une partie » réelle » et un « imaginaire » partie. La partie imaginaire est un multiple du nombre je« la racine carrée de moins un », qui est définie par l’équation je ² = –1.
Au début des années 1800, plusieurs mathématiciens, dont Jean Argand et John Warren, avaient découvert qu’un nombre complexe pouvait être représenté par un point sur un plan. Warren avait également montré qu’il était mathématiquement assez simple de faire pivoter une ligne de 90° dans ce nouveau plan complexe, comme si l’on retournait l’aiguille d’une horloge de 12h15 à midi. Car c’est ce qui arrive quand on multiplie un nombre par je.
Hamilton fut très impressionné par ce lien entre les nombres complexes et la géométrie et entreprit d’essayer de le faire en trois dimensions. Il a imaginé un plan complexe en 3D, avec un deuxième axe imaginaire en direction d’un deuxième nombre imaginaire jperpendiculaire aux deux autres axes.
Il lui a fallu de nombreux mois ardu pour réaliser que s’il voulait étendre la magie de la multiplication en rotation 2D en je il avait besoin quatre-nombres complexes dimensionnels, avec un troisième nombre imaginaire, k.
Dans cet espace mathématique 4D, le k-l’axe serait perpendiculaire aux trois autres. Non seulement k être défini par k ² = –1, sa définition est également nécessaire k = je = –ji. (En combinant ces deux équations pour k donne ijk = –1.)
Mettre tout cela ensemble donne je ² = j ² = k ² = ijk = –1, la révélation qui a frappé Hamilton comme un éclair à Broome Bridge.
Quaternions et vecteurs
Hamilton a appelé ses nombres 4D « quaternions » et il les a utilisés pour calculer des rotations géométriques dans l’espace 3D. C’est le type de rotation utilisé aujourd’hui pour déplacer un robot, par exemple, ou orienter un satellite.
Mais l’essentiel de la magie pratique entre en jeu lorsque l’on considère uniquement la partie imaginaire d’un quaternion. Car c’est ce que Hamilton a appelé un « vecteur ».
Un vecteur code deux types d’informations à la fois, notamment l’ampleur et la direction d’une quantité spatiale telle que la force, la vitesse ou la position relative. Par exemple, pour représenter la position d’un objet (x, oui, z) par rapport à « l’origine » (le point zéro des axes de position), Hamilton a visualisé une flèche pointant de l’origine vers l’emplacement de l’objet. La flèche représente le « vecteur position » x je + oui j + z k.
Les « composantes » de ce vecteur sont les nombres x, oui et z — la distance parcourue par la flèche le long de chacun des trois axes. (D’autres vecteurs auraient des composantes différentes, en fonction de leurs ampleurs et de leurs unités.)
Un demi-siècle plus tard, l’excentrique télégraphe anglais Oliver Heaviside a contribué à inaugurer l’analyse vectorielle moderne en remplaçant le cadre imaginaire de Hamilton. je, j, k avec des vecteurs unitaires réels, je, j, k. Mais dans tous les cas, les composantes du vecteur restent les mêmes – et donc la flèche et les règles de base pour multiplier les vecteurs restent également les mêmes.
Hamilton a défini deux façons de multiplier des vecteurs ensemble. L’un produit un nombre (appelé aujourd’hui produit scalaire ou scalaire) et l’autre produit un vecteur (appelé vecteur ou produit vectoriel). Ces multiplications apparaissent aujourd’hui dans une multitude d’applications, comme la formule de la force électromagnétique qui sous-tend tous nos appareils électroniques.
Un seul objet mathématique
À l’insu de Hamilton, le mathématicien français Olinde Rodrigues avait proposé une version de ces produits trois ans plus tôt, dans ses propres travaux sur les rotations. Mais appeler les multiplications de Rodrigues les produits de vecteurs relève du recul. C’est Hamilton qui a relié les composants séparés en une seule quantité, le vecteur.
Tout le monde, d’Isaac Newton à Rodrigues, n’avait aucune idée d’un objet mathématique unique unifiant les composantes d’une position ou d’une force. (En fait, il y avait une personne qui avait une idée similaire : un mathématicien allemand autodidacte nommé Hermann Grassmann, qui a inventé indépendamment un système vectoriel moins transparent en même temps que Hamilton.)
Hamilton a également développé une notation compacte pour rendre ses équations concises et élégantes. Il a utilisé une lettre grecque pour désigner un quaternion ou un vecteur, mais aujourd’hui, à la suite de Heaviside, il est courant d’utiliser une lettre latine en gras.
Cette notation compacte a changé la façon dont les mathématiciens représentent les quantités physiques dans l’espace 3D.
Prenons, par exemple, l’une des équations de Maxwell reliant les champs électriques et magnétiques :
∇ × E = –∂B/∂t
Avec juste une poignée de symboles (nous n’entrerons pas dans les significations physiques de ∂/∂t et ∇ ×), cela montre comment un vecteur de champ électrique (E) se propage dans l’espace en réponse aux changements d’un vecteur de champ magnétique (B).
Sans notation vectorielle, cela s’écrirait sous la forme de trois équations distinctes (une pour chaque composante de B et E) — chacun un enchevêtrement de coordonnées, de multiplications et de soustractions.
Le pouvoir de la persévérance
J’ai choisi l’une des équations de Maxwell comme exemple parce que l’écossais excentrique James Clerk Maxwell fut le premier grand physicien à reconnaître la puissance du symbolisme vectoriel compact. Malheureusement, Hamilton n’a pas vécu assez longtemps pour voir l’approbation de Maxwell. Mais il n’a jamais abandonné sa foi dans sa nouvelle façon de représenter les quantités physiques.
La persévérance de Hamilton face au rejet du grand public m’a vraiment ému lorsque je faisais des recherches mon livre sur les vecteurs. Il espérait qu’un jour – « peu importe quand » – il pourrait être remercié pour sa découverte, mais ce n’était pas de la vanité. Les applications possibles qu’il envisageait étaient enthousiasmantes.
Il serait ravi que les vecteurs soient si largement utilisés aujourd’hui et qu’ils puissent représenter des informations numériques aussi bien que physiques. Mais il serait particulièrement heureux que, dans les rotations de programmation, les quaternions restent souvent le meilleur choix – comme le savent les programmeurs de la NASA et des infographistes.
En reconnaissance des réalisations de Hamilton, les passionnés de mathématiques retrace sa célèbre promenade chaque 16 octobre pour célébrer la Journée de Hamilton. Mais nous utilisons tous chaque jour les fruits technologiques de ces graffitis sans prétention.
Cet article édité est republié à partir de La conversation sous licence Creative Commons. Lire le article original.
