Les mathématiciens disent que ces dés à 60 faces sont les plus équitables au monde. Leur conception a pris 15 ans.

Lors d’un dîner lors d’une convention de jeu vers 2010, le concepteur de jeux de société James Ernest se tourna vers son ami Eric Harshbarger et a posé une question : pourriez-vous concevoir un jeu de dés afin que chaque joueur d’un groupe – qu’il s’agisse de deux personnes ou de n’importe quel nombre – puisse en attraper un, le lancer et avoir une chance parfaitement égale de commencer ? La règle est simple : lancez vos dés, et celui qui obtient le chiffre le plus élevé commence en premier. Le plus difficile est de rendre ce résultat véritablement équitable pour chaque joueur, quel que soit le nombre de personnes autour de la table.

Il ne pouvait y avoir ni égalité ni relance.

Harshbarger, mathématicien à l’université d’Auburn en Alabama, n’avait pas de réponse ce soir-là. Mais la question restait. Au cours des 15 années suivantes, lui et un réseau informel de collaborateurs ont travaillé avec désinvolture pour résoudre ce qui est devenu connu sous le nom du problème du « coup de premier dés ».

Maintenant, ils ont enfin la réponse : un jeu de cinq dés à 60 faces, gravés collectivement avec chaque chiffre compris entre 1 et 300, sans répétition. Pour marquer cet exploit, Harshbarger a construit cinq répliques géantes en bois de ces hexécontaèdres (formes 3D à 60 côtés), chacune sculptée dans un type de bois différent. Ils sont désormais exposés en permanence dans le nouveau bâtiment de mathématiques d’Auburn.

Le problème avec les dés

Pour comprendre pourquoi il était si difficile de résoudre le problème, il est utile de comprendre la partie simple.

« La chose la plus simple est d’éviter les égalités ; il vous suffit de mettre des nombres différents sur tous les dés », a déclaré Harshbarger à Live Science. « Le problème vient de la façon dont vous répartissez ces différents nombres entre les dés afin que la probabilité soit égale non seulement pour l’ensemble mais pour n’importe quel sous-ensemble. »

C’est cette deuxième condition qui rend le problème diabolique. La demande d’Ernest n’était pas seulement que huit joueurs puissent rouler équitablement ; c’était ça n’importe lequel Un sous-ensemble de joueurs pourrait récupérer n’importe quel dé du lancer du sac et avoir toujours des chances égales. Si cinq personnes jouent, chacune prend un dé. Trois personnes ? Même chose. Les numéros sur chaque dé devaient être disposés de manière à ce que l’équité soit respectée, quel que soit le nombre de personnes se présentant pour jouer.

Harshbarger a bouclé son ami d’enfance Robert Fordmathématicien au Dalton State College. En quelques semaines, ils avaient une solution à trois joueurs : les numéros de 1 à 18, répartis sur trois dés standards à six faces, exactement dans la bonne disposition. Quatre dés à 12 faces, élaborés plus tard par Ford entièrement à la main, pouvaient accueillir équitablement quatre joueurs.

En 2012, Harshbarger donnait des conférences sur le jeu à quatre joueurs lors de conférences de mathématiques, et Le Guardian a couvert l’histoire. Sa boîte de réception a éclaté. Il a commencé à vendre des jeux faits à la main depuis chez lui – en achetant des dés vierges à 12 faces ; graver des chiffres sur chaque face avec une découpeuse laser dans son atelier ; puis encrer chaque numéro à la main. À son apogée, il déposait 30 enveloppes à la poste à la fois, plusieurs fois par semaine, expédiant des lots à des clients du monde entier.

Mais au fur et à mesure que l’équipe approfondissait mathématiquesils ont découvert que les dés faisaient quelque chose d’encore plus remarquable qu’ils ne l’avaient imaginé : les configurations déterminaient non seulement qui jouait en premier, mais également l’ordre complet du tour, avec toutes les séquences possibles de joueurs également susceptibles d’apparaître.

« Si quatre personnes lançaient un jet, les chances que les joueurs finissent dans l’ordre A, B, C, D étaient tout aussi probables que C, B, D, A ou n’importe laquelle de ces combinaisons », a déclaré Harshbarger. « « Partez en premier » est en fait un terme un peu abusif, car ils font bien plus que simplement déterminer qui commence ; ils déterminent en fait l’ordre de tous les joueurs. »

Cette propriété, que l’équipe appelle l’équité de permutation, est devenue à partir de ce moment la norme qu’ils ont recherchée pour chaque jeu de dés.

Plus de combinaisons que d’atomes dans l’univers

Quatre joueurs, c’était une chose. Cinq en était une tout autre.

Mathématiquement, l’équipe savait qu’un ensemble de même forme pour cinq joueurs était réalisable. Mais pour le trouver, il fallait parcourir un espace incompréhensiblement vaste d’arrangements numériques possibles.

« Nous parlons littéralement de plus que le nombre d’atomes dans l’univers – comme des combinaisons de puissance 10 puissance 128″, a déclaré Harshbarger. « Il n’y a tout simplement aucun moyen, même si nous avions un milliard de milliards d’années et tous les ordinateurs, toute l’IA. Nous ne pouvions toujours pas le faire aujourd’hui. »

Ils ne pouvaient pas trouver une réponse par la force. Ils avaient besoin de raccourcis mathématiques : des symétries et des motifs pour réduire l’espace de recherche. Mais même alors, des années se sont écoulées sans solution pratique. Tous les chemins qu’ils ont trouvés se heurtaient au même mur : des dés trop gros pour être tenus, trop de faces à fabriquer.

« Mon objectif était de créer un ensemble de cinq joueurs qui puissent réellement être fabriqués, que vous puissiez tenir dans votre main, que les joueurs de société puissent acheter et faire rouler », a déclaré Harshbarger. « Même pour un problème idiot et inutile en termes de gameplay, mathématiquement, pouvez-vous acheter ces choses et les lancer, et elles fonctionnent ? Vous ne pouvez pas faire cela avec des dés à 180 faces. »

Puis, au milieu de l’année 2023, l’ingénieur logiciel canadien Paul Meyer a envoyé un e-mail à Harshbarger à l’improviste. Il avait étudié les modèles des données de Harshbarger sur quatre joueurs et avait écrit un programme pour les exploiter. Il ne s’attendait pas à ce que cela fonctionne tout de suite.

C’est effectivement le cas. Meyer a trouvé une configuration de cinq dés à 60 faces qui satisfaisait à toutes les conditions.

« J’ai revérifié son travail et je me suis dit : ‘Oh mon Dieu, nous cherchons ça depuis si longtemps. C’est incroyable' », a déclaré Harshbarger.

De l’atelier au mur de la galerie

Le set pour quatre joueurs avait depuis longtemps été récupéré par les détaillants — Équipement mathématique au Royaume-Uni et Amusement artistique mathématique aux États-Unis – Harshbarger avait donc arrêté de fabriquer à la main ces années-là. Désormais, la version à cinq joueurs était réelle et suffisamment petite pour être fabriquée.

Mais l’histoire prit encore une tournure. L’Université d’Auburn construisait un nouveau siège pour son département de mathématiques et recherchait des idées sculpturales pour le remplir. Harshbarger a proposé de construire des versions géantes des cinq nouveaux dés en bois. Le ministère a accepté.

Il a passé des mois dans son atelier de menuiserie, à fabriquer cinq dés surdimensionnés. Chacun est issu d’une essence de bois différente : pin, peuplier, chêne, noyer ou acajou. Les cinq sculptures se trouvent désormais Le nouveau bâtiment mathématique d’Auburnqui a ouvert ses portes cet automne.

Pour Harshbarger, le problème est de rendre les mathématiques impossibles à contourner.

« Quand les gens voient des dés géants ou des petits dés, ils sont simplement fascinés par la géométrie », a-t-il déclaré. « L’espoir est qu’ils voient ces choses et disent: ‘Oh, c’est aussi des mathématiques, et c’est intéressant.’ Certains des problèmes mathématiques les plus amusants sont ceux qui sont faciles à comprendre et auxquels il est difficile de répondre. »