Lorsque le plus grand mathématicien vivant dévoile une vision du siècle prochain de la recherche, le mathématiques Le monde en prend note. C’est exactement ce qui s’est passé en 1900 au Congrès international des mathématiciens de l’Université de Sorbonne à Paris. Mathématicien légendaire David Hilbert présenté 10 problèmes non résolus En tant que repères ambitieux pour le 20e siècle. Il a ensuite élargi sa liste pour inclure 23 problèmeset leur influence sur la pensée mathématique au cours des 125 dernières années ne peut pas être surestimée.
Le sixième problème de Hilbert a été l’un des plus élevés. Il a appelé à «axiomatiser» la physique, ou à déterminer le strict minimum d’hypothèses mathématiques derrière toutes ses théories. Largement interprété, il n’est pas clair que physiciens mathématiques pourrait savoir s’ils avaient résolu ce défi. Hilbert a cependant mentionné certains sous-objectifs spécifiques, et les chercheurs ont depuis affiné sa vision en étapes concrètes vers sa solution.
En mars, les mathématiciens Yu Deng de l’Université de Chicago et Zaher Hani et Xiao Ma de l’Université du Michigan ont publié un nouveau document sur le serveur préparatoire arxiv.org que prétend avoir abaissé l’un de ces objectifs. Si leur travail résiste à un examen minutieux, il marquera une progression majeure vers la physique de la physique en mathématiques et pourrait ouvrir la porte à l’analogue percées dans d’autres domaines de la physique.
Dans l’article, les chercheurs suggèrent qu’ils ont compris comment unifier trois théories physiques qui expliquent le mouvement des fluides. Ces théories régissent une gamme d’applications d’ingénierie, de la conception des avions à la prédiction météorologique – mais jusqu’à présent, elles reposaient sur des hypothèses qui n’avaient pas été rigoureusement prouvées. Cette percée ne changera pas les théories elles-mêmes, mais elle les justifie mathématiquement et renforce notre confiance que les équations fonctionnent comme nous le pensons.
Chaque théorie diffère dans la quantité de zoom sur un liquide ou un gaz qui coule. Au niveau microscopique, les fluides sont composés de particules – de petites boules de billard qui se déroulent et sont occasionnellement en collision – et Lois du mouvement de Newton Travaillez bien pour décrire leurs trajectoires.
Mais lorsque vous zoomez pour considérer le comportement collectif d’un grand nombre de particules, le niveau dite mésoscopique, il n’est plus pratique de modéliser chacun individuellement. En 1872, le physicien théorique autrichien Ludwig Boltzmann a abordé cela lorsqu’il a développé ce qui est devenu connu sous le nom d’équation de Boltzmann. Au lieu de suivre le comportement de chaque particule, l’équation considère le probable comportement d’un typique particule. Cette perspective statistique lisse sur les détails de bas niveau en faveur des tendances de niveau supérieur. L’équation permet aux physiciens de calculer comment des quantités telles que l’élan et la conductivité thermique dans le fluide évoluent sans minutieusement chaque collision microscopique.
Zoomez plus loin et vous vous retrouvez dans le monde macroscopique. Ici, nous considérons les fluides non pas comme une collection de particules discrètes mais comme une seule substance continue. À ce niveau d’analyse, une suite différente d’équations – le Équations d’Euler et de Navier-Stokes – Décrivez avec précision comment les fluides se déplacent et comment leurs propriétés physiques interagissent du tout sans recours aux particules.
Les trois niveaux d’analyse décrivent chacun la même réalité sous-jacente – comment les liquides circulent. En principe, chaque théorie devrait s’appuyer sur la théorie ci-dessous dans la hiérarchie: les équations d’Euler et de Navier-Stokes au niveau macroscopique doivent suivre logiquement de l’équation de Boltzmann au niveau mésoscopique, qui à son tour devrait suivre logiquement des lois du mouvement de Newton au niveau microscopique. C’est le genre d ‘ »axiomatisation » que Hilbert a demandé dans son sixième problème, et il a explicitement référencé le travail de Boltzmann sur les gaz dans son Rédaction du problème. Nous nous attendons à ce que les théories complètes de la physique suivent les règles mathématiques qui expliquent le phénomène du microscopie aux niveaux macroscopiques. Si les scientifiques ne parviennent pas à combler cet écart, cela pourrait suggérer un malentendu dans nos théories existantes.
L’unification des trois perspectives sur la dynamique des fluides a posé un défi obstiné pour le domaine, mais Deng, Hani et MA viennent peut-être de le faire. Leur réalisation s’appuie sur des décennies de progrès progressifs. Les progrès antérieurs sont cependant venus avec une sorte d’astérisque; Par exemple, les dérivations impliquées n’ont fonctionné que sur de courtes échelles de temps, dans un vide ou dans d’autres conditions de simplification.
La nouvelle preuve se compose largement de trois étapes: dériver la théorie macroscopique de la théorie mésoscopique; dériver la théorie mésoscopique de la théorie microscopique; Et puis les assembler en une seule dérivation des lois macroscopiques à partir de celles microscopiques.
La première étape était auparavant comprise, et même Hilbert lui-même a contribué. La dérivation du mésoscopique du microscopie, en revanche, a été beaucoup plus difficile mathématiquement. N’oubliez pas que le cadre mésoscopique concerne le comportement collectif d’un grand nombre de particules. Ainsi, Deng, Hani et Ma ont regardé ce qui arrive aux équations de Newton à mesure que le nombre de particules individuelles entrant en collision et en ricoche se développe à l’infini et que leur taille se rétrécit pour zéro. Ils ont prouvé que lorsque vous étirez les équations de Newton à ces extrêmes, le comportement statistique du système – ou le comportement probable d’une particule « typique » dans le fluide – converge vers la solution de l’équation de Boltzmann. Cette étape forme un pont en dérivant les mathématiques mésoscopiques à partir du comportement extrêmement des mathématiques microscopiques.
Le principal obstacle dans cette étape concernait la durée de la modélisation des équations. C’était déjà connu Comment dériver l’équation de Boltzmann des lois de Newton sur des échelles de temps très courtes, mais cela ne suffit pas pour le programme de Hilbert, car les liquides du monde réel peuvent couler pendant n’importe quel temps. Avec des échelles de temps plus longues sont plus complexes: plus de collisions ont lieu, et toute l’histoire des interactions d’une particule pourrait supporter son comportement actuel. Les auteurs ont surmonté cela en faisant une comptabilité minutieuse de la quantité d’histoire d’une particule affecte son présent et en tirant parti de nouvelles techniques mathématiques pour affirmer que les effets cumulatifs des collisions antérieures restent faibles.
Collant ensemble leur percée à long terme avec des travaux antérieurs sur la dérivation de l’Euler et Équations de Navier-Stokes De l’équation de Boltzmann unifie trois théories de la dynamique des fluides. La découverte justifie de prendre différentes perspectives sur les fluides en fonction de ce qui est le plus utile dans le contexte car mathématiquement, ils convergent sur une théorie ultime décrivant une réalité. En supposant que la preuve est correcte, elle innove dans le programme de Hilbert. Nous ne pouvons qu’espérer qu’avec de telles approches aussi nouvelles, le barrage éclatera sur les défis de Hilbert et plus de physique s’écoulera en aval.
Cet article a été publié pour la première fois à Scientifique américain. © ScientificAmerican.com. Tous droits réservés. Suivre Tiktok et Instagram, X et Facebook.
