Les équations polynomiales sont la pierre angulaire des sciences modernes, fournissant une base mathématique pour la mécanique céleste, l’infographie, les prédictions de croissance du marché et bien plus encore. Mais bien que la plupart des lycéens savent comment résoudre de simples équations polynomiales, les solutions aux polynômes d’ordre supérieur ont échappé même aux mathématiciens assaisonnés.
Maintenant, Mathématicien de l’Université de la Nouvelle-Galles du Sud Norman Wildberger et l’informaticien indépendant Dean Rubine ont trouvé la première méthode générale pour résoudre ces équations diaboliquement difficiles. Ils ont détaillé leur approche le 8 avril dans le journal Le mensuel mathématique américain.
Un polynôme est un type d’équation algébrique qui implique des variables élevées à une puissance non négative – par exemple, x² + 5x + 6 = 0. Il fait partie des concepts mathématiques les plus anciens, reprise de ses racines à l’Égypte et à Babylon anciennes.
Les mathématiciens savent depuis longtemps comment résoudre des polynômes simples. Cependant, les polynômes d’ordre supérieur, où X est élevé à un pouvoir supérieur à quatre, se sont révélés plus délicats. L’approche la plus souvent utilisée pour résoudre les polynômes à deux, trois et quatre degrés repose sur l’utilisation des racines des nombres exponentiels, appelés radicaux. Le problème est que les radicaux représentent souvent des nombres irrationnels – des décimales qui continuent à aller à l’infini, comme pi.
Bien que les mathématiciens puissent utiliser des radicaux pour trouver des solutions approximatives aux polynômes individuels d’ordre supérieur, ils ont eu du mal à trouver une formule générale qui fonctionne pour tous. En effet, les nombres irrationnels ne peuvent jamais résoudre complètement. « Vous auriez besoin d’une quantité infinie de travail et d’un disque dur plus grand que l’univers », a déclaré Wildberger dans un déclaration.
Dans leur nouvelle méthode, Wildberger et ses collègues ont évité les radicaux et les nombres irrationnels entièrement. Au lieu de cela, ils ont utilisé des extensions polynomiales appelées série de puissance. Ce sont des chaînes de termes hypothétiquement infinies avec les pouvoirs de X, couramment utilisés pour résoudre les problèmes géométriques. Ils appartiennent à une sous-branche de mathématiques appelée combinatoire.
Les mathématiciens ont basé leur approche sur les nombres catalans, une séquence qui peut être utilisée pour décrire le nombre de façons de décomposer un polygone en triangles. Cette séquence a d’abord été délimitée par le mathématicien mongolien Mingantu vers 1730 et a été découverte indépendamment par Leonhard Euler en 1751. Wildberger et Rubine ont réalisé qu’ils pouvaient se tourner vers des analogues plus élevés des nombres catalans pour résoudre les équations polynomiales d’ordre supérieur. Ils ont appelé cette extension « la géode ».
La géode possède de nombreuses applications potentielles pour les recherches futures, en particulier en informatique et en graphiques. « Il s’agit d’une révision spectaculaire d’un chapitre de base de l’algèbre », a déclaré Wildberger.
