Définis à l’origine comme le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, pi – Écrit comme la lettre grecque π – apparaît tout au long des mathématiques, y compris dans des domaines complètement non connectés à des cercles tels que la chimie, les sciences physiques et la médecine.
Pi appartient à un énorme groupe mathématique appelé nombres irrationnels, qui continuent pour toujours et ne peuvent pas être écrits comme des fractions. Les scientifiques ont calculé Pi à 105 billions de chiffresbien que la plupart d’entre nous connaissent davantage l’approximation 3.14. Mais comment savons-nous que PI est un nombre irrationnel?
Les nombres rationnels, qui constituent la majorité des nombres que nous utilisons dans la vie quotidienne (bien que moins de la moitié de tous les nombres possibles), puissent être écrits sous la forme d’un nombre entier divisé par un autre. Pi, avec sa chaîne de décimales compliquée, ne semble certainement pas faire partie de ce groupe à première vue.
« La rationalité est la propriété pratique d’avoir accès au nombre explicitement, c’est-à-dire sans aucune approximation … donc pouvoir écrire le nombre dans une quantité finie de symboles », » Wadim Zudilinun mathématicien à l’Université Radboud aux Pays-Bas, a déclaré à Live Science.
Cependant, prouver en fait que vous ne pouvez pas écrire PI en tant que fraction est un problème étonnamment noueux. Mathématiciens Je n’ai pas de méthode universelle pour montrer qu’un nombre particulier est irrationnel, ils doivent donc développer une preuve différente pour chaque cas, expliquée Keith Conradmathématicien à l’Université du Connecticut. « Comment savez-vous qu’un nombre n’est pas une fraction? » Il a dit. « Vous essayez de vérifier une propriété négative. »
Malgré cette difficulté, au cours des 300 dernières années, les mathématiciens ont établi différentes preuves d’irrationalité de Pi, en utilisant des techniques de toutes les mathématiques. Chacun de ces arguments commence par l’hypothèse que Pi est rationnel, écrit sous la forme d’une équation. À travers une série de manipulations et déductions À propos des propriétés des valeurs inconnues dans cette équation, il devient par la suite clair que les mathématiques contredisent cette affirmation originale, conduisant à la conclusion que Pi doit être irrationnel.
Les mathématiques spécifiques impliquées sont souvent incroyablement complexes, nécessitant généralement une compréhension au niveau de l’université des séries de calcul, de trigonométrie et d’infini. Cependant, chaque approche repose sur cette idée centrale de la preuve par contradiction.
« Il existe des preuves utilisant des fonctions de calcul et de trigonométrie« Conrad a dit. » Dans certains d’entre eux, π est distingué comme la première solution positive au péché (x) = 0. La première preuve de Lambert dans les années 1760 a utilisé un morceau de mathématiques appelé fractions infinies continues – c’est une sorte de fraction infiniment imbriquée. «
Cependant, plutôt que de prouver que PI est directement irrationnel, il est également possible de confirmer l’irrationalité en utilisant une propriété différente du nombre. Pi appartient à un autre groupe numérique appelé nombres transcendantaux, qui ne sont pas algébriques et, surtout, ne peuvent pas être écrits comme la racine d’une équation polynomiale. Parce que chaque nombre transcendantal est irrationnel, toute preuve montrant que Pi est transcendantal prouve également que Pi est irrationnel.
« En utilisant le calcul avec des nombres complexes, vous pouvez prouver que π est transcendantal », a déclaré Conrad. « La preuve utilise l’équation très célèbre appelée identité d’Euler: Eiπ +1 = 0. «
Bien que l’importance universelle de Pi puisse résulter de cette irrationalité intangible, sept ou huit décimales sont généralement plus que suffisantes pour toute application réelle. Même La NASA utilise seulement 16 chiffres de Pi pour ses calculs.
« Nous approximations de la valeur à des fins pratiques, 3.1415926 – c’est déjà beaucoup d’informations! » Dit Zudilin. « Mais bien sûr, en mathématiques, ce n’est pas satisfaisant. Nous nous soucions de la nature des chiffres. »
